Κάνετε 3 μικρές χαρακιές σε κάθε φιλέτο ψαριού (από την πλευρά της πέτσας) και μπήγετε μέσα ένα κομμάτι αντσούγιας (δεν πειράζει αν εξέχουν λίγο). Ζεσταίνετε μια κουταλιά ελαιόλαδο σε ένα μεγάλο, βαθύ τηγάνι, σε μέτρια φωτιά και σοτάρετε μέσα το κρεμμύδι και το σκόρδο, μέχρι να αρχίσουν να ροδίζουν. Προσθέτετε τις ντομάτες, το κρασί, το βαλσαμικό ξίδι και αλατοπίπερο και ανακατεύετε το μίγμα μέχρι δέσει η σάλτσα, για 10 περίπου λεπτά, πάντα σε μέτρια φωτιά.

Σε ένα άλλο, μεγάλο, αντικολλητικό τηγάνι, ζεσταίνετε το υπόλοιπο λάδι και τηγανίζετε μέσα το ψάρι, και από τις δυο πλευρές, για 5 σύνολο λεπτά, μέχρι να ροδίσει. Το περιχύνετε με τη σάλτσα και συνεχίζετε το ψήσιμο για 1 ακόμη λεπτό.

Βγάζετε το ψάρι με τρυπητή κουτάλα σε πιατέλα, ρίχνετε τις ελιές και το βασιλικό στη σάλτσα, ανακατεύετε για 1 λεπτό για να ζεσταθούν και περιχύνετε το ψάρι. Το σερβίρετε αμέσως, είτε σε πιατέλα είτε σε 4 ατομικά πιάτα, πασπαλισμένο με λίγο ψιλοκομμένο μαϊντανό.