Σε ένα μπολ βάζετε το 1 φλιτζάνι νερό και τη μαγιά και ανακατεύετε καλά μέχρι να διαλυθεί η μαγιά. Το αφήνετε για 10 λεπτά μέχρι να φουσκώσει (είναι έτοιμο όταν βγάλει φουσκάλες στην επιφάνεια).  Σ’ άλλο μπολ αναμιγνύετε το αλεύρι, το αλάτι, τη ζάχαρη και ανακατεύετε. Ακολούθως, προσθέτετε το ελαιόλαδο και ρυζιάζετε. Δηλαδή τρίβετε με τις παλάμες σας μέχρι να σχηματιστούν χοντρά ψίχουλα και ρίχνετε λίγο – λίγο το μίγμα της μαγιάς.

Ζυμώνετε μέχρι να δημιουργηθεί μια μαλακή ζύμη. Αν χρειαστεί προσθέτετε και το υπόλοιπο νερό. Βάζετε τη ζύμη σε ένα μπολ και τη σκεπάζετε με μια πετσέτα ή μεμβράνη. Την αφήνετε για περίπου μία ώρα σε ζεστό μέρος μέχρι να διπλασιαστεί σε όγκο.

Παράλληλα, ετοιμάζετε τη σάλτσα ντομάτας. Τοποθετείτε ένα μικρό κατσαρολάκι στη φωτιά και βάζετε μέσα όλα τα υλικά της σάλτσας. Όταν κοχλάσει χαμηλώνετε τη  φωτιά και βράζετε για 5 λεπτά μέχρι να δέσει.

Προθερμαίνετε το φούρνο στους 180°C. Λαδώνετε δυο στρογγυλά ταψιά (με διάμετρο 33 εκ.) για πίτσα. Χωρίζετε τη ζύμη στα δύο και την ανοίγετε με τον πλάστη. Βάζετε τη ζύμη προσεκτικά στα ταψιά και ρίχνετε από πάνω τη σάλτσα ντομάτας. Απλώνετε να πάει παντού.

Σκορπάτε στην επιφάνεια το τυρί και ακολούθως τα ντοματίνια, τις ελιές και τα φύλλα βασιλικού. Ψήνετε στο προθερμασμένο φούρνο για 20΄ – 25΄ ή μέχρι να ροδίσει.