Προθερμαίνετε το φούρνο στους 200°C. Πλένετε, στεγνώνετε, αφαιρείτε τους μίσχους και τα σπόρια και κόβετε τις πιπεριές σε 4 κομμάτια κατά μήκος. Τις βάζετε σε ένα ταψί μαζί με τα σκόρδα και το βασιλικό, τις αλατοπιπερώνετε και τις ραντίζετε με 3 κουταλιές ελαιόλαδο. Τις ανακατεύετε για να πιάσουν παντού και τις ψήνετε στο φούρνο για 20 λεπτά. Γυρίζετε τις πιπεριές και συνεχίζετε το ψήσιμο για άλλα 15 περίπου λεπτά, μέχρι να μαλακώσουν καλά.

Βγάζετε το ταψί από το φούρνο, πετάτε τα σκόρδα και βγάζετε τις πιπεριές σε μια πιατέλα, στραγγίζοντάς τις από το ζουμί τους και τις αφήνετε να κρυώσουν.

Μαζεύετε το ζουμί από το ταψί, το βάζετε σε ένα μπολάκι, προσθέτετε μέσα το ελαιόλαδο και το βαλσαμικό ξίδι και λίγο αλατοπίπερο (γιατί το ζουμί είναι ήδη αλατοπιπερωμένο) και τα χτυπάτε με πιρούνι για να ομογενοποιηθούν. Ανακατεύετε τις πιπεριές με το κόκκινο μαρούλι και τα περιχύνετε με το μίγμα. Απλώνετε τη σαλάτα σε μια πιατέλα ή σε 4 ατομικά πιάτα, σκορπάτε απάνω το κατσικίσιο τυρί και τη σερβίρετε.