Πλένετε καλά τις πατάτες και τις στραγγίζετε. Τις τυλίγετε στεγανά µε αλουµινόχαρτο και τις ψήνετε στο φούρνο για 1 περίπου ώρα (δοκιµάστε αν είναι έτοιµες µπήγοντας µέσα ένα µαχαιράκι. Δεν πρέπει να βρίσκει αντίσταση). Αφαιρείτε το αλουµινόχαρτο και αφήνετε τις πατάτες να κρυώσουν αρκετά για να µπορείτε να τις πιάνετε. Τις ξεφλουδίζετε και τις λιώνετε µε το πιρούνι ή τις περνάτε από το µύλο των χορταρικών. Ανακατεύετε µέσα το γάλα και ύστερα, το βούτυρο, την τριµµένη παρµεζάνα, αλάτι και πιπέρι.

Στο µεταξύ, ζεσταίνετε 2 κουταλιές ελαιόλαδο σε ένα τηγανάκι και σοτάρετε µέσα, σε χαµηλή φωτιά, το κρεµµύδι, µέχρι να µαραθεί και να γίνει διάφανο. Το αποσύρετε από τη φωτιά και το αφήνετε να κρυώσει. Βάζετε όλα τα υλικά για µπιφτέκια σε µια λεκάνη, αδειάζετε µέσα το κρεµµύδι µε το λάδι του και τα ζυµώνετε για να γίνει ένα οµοιογενές µίγµα. Ύστερα το χωρίζετε σε 4 µέρη και το πλάθετε σε µπιφτέκια (για ευκολία, χρησιµοποιήστε µια στρογγυλή κουπ-πατ, διαµέτρου 10-12 εκ., που θα τη γεµίζετε µε το µίγµα και θα το συµπιέζετε ελαφρά).

Ζεσταίνετε ένα τηγάνι/σχάρα ή ένα µεγάλο αντικολλητικό τηγάνι στη φωτιά και το αλείφετε µε 1 κουταλιά ελαιόλαδο. Ψήνετε µέσα τα µπιφτέκια για 3-4 περίπου λεπτά από την κάθε πλευρά. Βάζετε το ζωµό γαρίδων σε ένα κατσαρολάκι (µπορείτε να τον ετοιµάσετε µε τα κεφάλια και τα κελύφη των 12 γαρίδων) µαζί µε την κρέµα γάλακτος, αλατοπιπερώνετε και βράζετε το µίγµα σε χαµηλή φωτιά για 5-6 περίπου λεπτά. Προσθέτετε τις γαρίδες και συνεχίζετε το βράσιµο για άλλα 4 περίπου λεπτά, µέχρι να αλλάξουν χρώµα και να κουλουριαστούν.Μοιράζετε τον πουρέ σε 4 πιάτα (αν χρησιµοποιήσετε την ίδια κουπ-πατ που φτιάξατε τα µπιφτέκια, θα είναι ακόµα καλύτερα), βάζετε από πάνω τα µπιφτέκια, µοιράζετε απάνω τις γαρίδες και τα περιχύνετε µε τη σάλτσα τους.