Ετοιμάζετε πρώτα το πατέ ελιάς:

Επιλογή α)Αφαιρείτε τα κουκούτσια των ελιών και τα αλέθετε στο μπλέντερ ή το πολυμίξερ, μαζί με λίγο ελαιόλαδο, να γίνουν σαν πουρές. Ενσωματώνετε μέσα το βούτυρο και ύστερα προσθέτετε τα μυριστικά και χτυπάτε το μίγμα για λίγα ακόμα δευτερόλεπτα.

Επιλογή β) Μουλιάζετε για 15 λεπτά σε κρύο νερό σε χωριστά μπολ τις ελιές και την κάπαρη να ξαρμυρίσουν. Στύβετε με τις παλάμες σας την κάπαρη να στραγγίσει καλά και αφαιρείτε τα κουκούτσια των ελιών. Βάζετε όλα τα υλικά στη γυάλα του μπλέντερ ή του πολυμίξερ και τα αλέθετε μέχρι να γίνει ένα λείο και ομοιογενές μίγμα. Μπορεί να κρατήσει για πολύ καιρό κλεισμένο σε αποστειρωμένο βαζάκι στο ψυγείο.Προθερμαίνετε το γκριλ του φούρνου. Σοτάρετε το κρεμμύδι σε ένα μεγάλο τηγάνι μέχρι να μαλακώσει και προσθέτετε τα ντοματίνια. Συνεχίζετε το σοτάρισμα για 2-3 ακόμη λεπτά, τα αλατοπιπερώνετε και ανακατεύετε μέσα το βασιλικό. Τα αποσύρετε από τη φωτιά. Αλείφετε με λάδι ένα ταψί (για ευκολία το ντύνετε με αλουμινόχαρτο και το λαδώνετε) και ύστερα αλείφετε με λάδι τα φιλετάκια των μπαρμπουνιών και τα αλατοπιπερώνετε. Τα απλώνετε πάνω στο ταψί με την πλευρά της πετσούλας προς τα πάνω και τα ψήνετε για 2 λεπτά κάτω από το γκριλ.Βάζετε τα φιλέτα των ψαριών στη μια πλευρά μιας πιατέλας ή τα μοιράζετε σε 4 ατομικά πιάτα, προσθέτετε τα ντοματίνια και γαρνίρετε τα πιάτα με κουταλίτσες από πατέ ελιάς.