Πασπαλίζετε με αλάτι τις μελιτζάνες και τις αφήνετε σε σουρωτήρι για ½ ώρα να κατεβάσουν το νερό τους.
Τις ξεπλένετε, τις στύβετε για να στραγγίξουν καλά και τις βάζετε σε μια λεκάνη.
Τις ραντίζετε με το ελαιόλαδο και τις τινάζετε ή τις ανακατεύετε, για να πιάσουν καλά παντού.
Ζεσταίνετε καλά ένα τηγάνι/σχάρα ή ένα βαρύ αντικολλητικό τηγάνι σε δυνατή φωτιά και ψήνετε τμηματικά τις μελιτζάνες, για 1-2 λεπτά από την κάθε πλευρά, μέχρι να ροδίσουν και από τις δυο πλευρές.
Τις κρατάτε στην άκρη.
Βάζετε σε ένα μπολ την αναρή, την παρμεζάνα, την κρέμα γάλακτος και τα αβγά και τα χτυπάτε με το σύρμα ή με το μίξερ σε χαμηλή ταχύτητα, μέχρι να ομογενοποιηθούν.
Ανακατεύετε μέσα το βασιλικό και αλατοπιπερώνετε το μίγμα.
Στρώνετε σε ένα μέτριο πυρίμαχο ταψάκι μια στρώση μελιτζάνες (το 1/3 τους περίπου) και βάζετε από πάνω το 1/3 του μίγματος της αναρής.
Επαναλαμβάνετε τις στρώσεις 2 ακόμα φορές και τελειώνετε πασπαλίζοντας την επιφάνεια με την επιπλέον τριμμένη παρμεζάνα.
Ψήνετε το φαγητό στο φούρνο για 35 περίπου λεπτά, μέχρι να ροδίσει καλά η επιφάνειά του.
Το βγάζετε και το κρατάτε για 5-6 λεπτά στην άκρη πριν το σερβίρετε με μια πλούσια σαλάτα.
Απο 
