Ζεσταίνετε το ελαιόλαδο σε ένα µέτριο τηγάνι και σοτάρετε το κρεµµύδι. Στη συνέχεια, προσθέτετε τον κιµά και όταν ασπρίσει, βάζετε το καρότο και βράζετε µέχρι να µαλακώσουν.

Σβήνετε µε το κρασί και βράζετε µέχρι να εξατµιστεί το αλκοόλ.

Ακολούθως, ρίχνετε το χυµό ντοµάτας, τη ζάχαρη, το αλάτι, το πιπέρι και βράζετε µέχρι να δέσει καλά η σάλτσα (δεν θέλουµε να έχει πολλά υγρά, περίπου 1 φλιτζάνι. Αν είναι περισσότερα τα σουρώνετε και επιστρέφετε στον κιµά µόνο 1 φλιτζάνι).

Μετά, βάζετε το βασιλικό, ανακατεύετε και σβήνετε τη φωτιά. Αφήνετε να κρυώσει λίγο ο κιµάς, προσθέτετε το χαλλούµι και ανακατεύετε καλά.

Προθερμαίνετε το φούρνο στους 180°C.

Σε ένα πυρίμαχο σκεύος απλώνετε µια στρώση λαζάνια και από πάνω το µισό µίγµα του κιµά.

Ξαναβάζετε µια στρώση λαζάνια και ρίχνετε από πάνω τον υπόλοιπο κιµά. Τελειώνετε µε µια στρώση λαζάνια.

Σε ένα µικρό κατσαρολάκι ρίχνετε το ελαιόλαδο και όταν κάψει βάζετε το αλεύρι. Ανακατεύετε 1-2 φορές και ρίχνετε το γάλα.

Αφήνετε να βράσει και προσθέτετε το βασιλικό, το χαλλούµι, το αβγό, αλάτι και πιπέρι. Ανακατεύετε µέχρι να πήξει η µπεσαµέλ.

Την απλώνετε ομοιόμορφα πάνω από τα λαζάνια και πασπαλίζετε αν θέλετε την επιφάνεια µε λίγο τριµµένο χαλλούµι και βασιλικό.

Σκεπάζετε το σκεύος με αλουμινόχαρτο και ψήνετε στον προθερμασμένο φούρνο για 30 λεπτά.

Αφαιρείτε το αλουμινόχαρτο και συνεχίζετε το ψήσιμο για ακόμη 15 λεπτά ή µέχρι να ροδίσει η µπεσαµέλ.