Προθερµαίνετε το φούρνο στους 180°C. Λιώνετε το βούτυρο µε το ελαιόλαδο σε ένα µεγάλο, βαθύ τηγάνι σε µέτρια φωτιά και κοκκινίζετε µέσα τα κότσια, µέχρι να ροδίσουν καλά, από όλες τις πλευρές. Περιχύνετε µε το κρασί και ξύνετε τον πάτο του τηγανιού µε ξύλινη σπάτουλα για να ξεκολλήσει ό,τι απέµεινε κολληµένο εκεί. Αφήνετε το κρασί να εξατµιστεί και να µείνει το µισό.Μεταφέρετε το περιεχόµενο του τηγανιού σε ένα ταψάκι και προσθέτετε µέσα το καρότο, το σέλινο, τα σκόρδα, το θυµάρι και το δεντρολίβανο, το ζωµό και το ζωµό/ gravy.
Ψήνετε τα κότσια στο φούρνο ξεσκέπαστα για 1 ½ περίπου ώρα, περιχύνοντάς τα συχνά µε το ζωµό µέσα στο ταψί και τα πασπαλίζετε µε το αλάτι και το πιπέρι. Στο τέλος του ψησίµατος, πρέπει να έχετε δυο µαλακά και βαθυρόδινα «ποντίκια» αρνιού (souris d’ agneau στα γαλλικά θα πει ποντίκια αρνιού, για το σχήµα τους: Το κόκαλο µοιάζει µε ποντικοουρά).
Τα βγάζετε από το φούρνο και τα σερβίρετε σε µια βαθιά πιατέλα ή ατοµικά πιάτα. Περνάτε τη σάλτσα τους από σουρωτήρι και τα περιχύνετε. Σηµείωση: Τα κότσια (shanks) είναι τα κοµµάτια από το αρνίσιο µπούτι κάτω από την κλείδωση. Για 4 άτοµα θα χρειαστείτε 2 συνολικού βάρους 1 1/4 κιλό ή 4 συνολικού βάρους 1 ½ κιλό.