Βάζετε τον κιμά με το κρεμμύδι, το σκόρδο, τα ψίχουλα του ψωμιού, το βασιλικό, το τριμμένο τυρί και το αβγό σε ένα μπολ. Προσθέτετε αλατοπίπερο και ζυμώνετε καλά το μίγμα. Ύστερα, το πλάθετε σε στρογγυλά κεφτεδάκια. Τα βάζετε σε ένα μεγάλο πιάτο και τα κρατάτε στο ψυγείο.
Ζεσταίνετε σε μια μεγάλη κατσαρόλα το λάδι και σοτάρετε μέσα σε μέτρια φωτιά το σέλινο, το καρότο και την πιπεριά μέχρι να μαραθούν για 8-10 λεπτά. Προσθέτετε τις ντομάτες, 6 φλ. νερό και τα αφήνετε να κοχλάσουν.
Ύστερα, ρίχνετε μέσα τον επιπλέον βασιλικό, τα κολοκυθάκια, τα φασόλια (αν είναι κονσέρβας καλά ξεπλυμένα) και αλατοπίπερο.
Όταν η σούπα κοχλάσει, ρίχνετε μέσα τμηματικά τα κεφτεδάκια. Αφήνετε να κοχλάσουν και χαμηλώνετε τη φωτιά.
Σκεπάζετε την κατσαρόλα και τα σιγοβράζετε για 20 περίπου λεπτά.Σερβίρετε τη σούπα με επιπλέον τριμμένο τυρί.