Βάζετε τη μαγιά σε ένα μπολ και προσθέτετε το χλιαρό νερό. Ανακατεύετε με ένα σύρμα να διαλυθεί η μαγιά και προσθέτετε σιγά – σιγά το γάλα.

Σε ένα μεγάλο μπολ βάζετε το αλεύρι, το μέχλεπι, τη μαστίχα, τη ζάχαρη και το αλάτι και ανακατεύετε.
Ανοίγετε ένα πηγαδάκι στο κέντρο του αλεύρου και ρίχνετε το λάδι. Ρυζιάζετε, δηλαδή τρίβετε με τις παλάμες σας μέχρι να σχηματιστούν χοντρά ψίχουλα και προσθέτετε διαδοχικά λίγη ποσότητα από το γάλα και λίγη από τα ελαφρώς χτυπημένα αυγά μέχρι να φτιάξετε μια μαλακή ζύμη που να μην κολλά στα χέρια σας. Προσοχή, γιατί η ζύμη μπορεί να μην «τραβήξει» όλα τα αυγά. Την πλάθετε σε μπάλα, την αλείφετε με λίγο λάδι και τη σκεπάζετε με μια πετσέτα και στη συνέχεια με μια κουβέρτα.

Την αφήνετε να διπλασιαστεί σε όγκο. Θα χρειαστεί περίπου 2 ώρες.

Η διαδικασία για τη γέμιση ξεκινά δυο μέρες πριν φτιάξετε τις φλαούνες. Τρίβετε το χαλλούμι και το τυρί στη λεπτή μεριά του τρίφτη και τα βάζετε σε ένα μπολ. Το σκεπάζετε με μια πλαστική μεμβράνη και το βάζετε στο ψυγείο. Κατά διαστήματα κουνάτε το μπολ φέρνοντας τα τυριά που είναι κάτω προς τα πάνω. Με αυτό τον τρόπο θα στεγνώσουν τα τυριά και έτσι θα «τραβήξουν» περισσότερα αυγά, με αποτέλεσμα οι φλαούνες να γίνουν πιο αφράτες.

Το προηγούμενο βράδυ, ξεπλένετε καλά το δυόσμο, κόβετε τα φύλλα και τα απλώνετε σε μια πετσέτα να στεγνώσουν. Πλένετε τα σταφιδάκια και τα απλώνετε επίσης σε μια πετσέτα για να στεγνώσουν. Σε μια κατσαρόλα βάζετε μπόλικο νερό ρίχνετε μέσα το σησάμι και το βράζετε για 2-3 λεπτά και στη συνέχεια το σουρώνετε. Σε ένα πλατύ δίσκο βάζετε μια πετσέτα και βάζετε μέσα το σησάμι. Κλείνετε καλά με τις άκριες της πετσέτας για να μείνει η υγρασία.

Τη μέρα που θα κάνετε τις φλαούνες βγάζετε το τυρί και το χαλούμι από το ψυγείο και το αφήνετε λίγο να ξεπαγώσει. Παράλληλα, ψιλοκόβετε το δυόσμο. Προσθέτετε στο τυρί τη μαστίχα, τη ζάχαρη, το αλεύρι, το μπέικιν πάουντερ, τις σταφίδες και το δυόσμο και ανακατεύετε καλά. Στη συνέχεια, ρίχνετε λίγη – λίγη ποσότητα από τα ελαφρώς χτυπημένα αυγά. Για να είναι έτοιμη η γέμιση πρέπει να φτιάχνετε ένα μεγάλο μπαλάκι και να μη σπάζει. Χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή όταν θα ρίχνετε τα αυγά γιατί μπορεί να μην τα «σηκώσει» όλα. Σκεπάζετε το μπολ με πετσέτα και στη συνέχεια με κουβέρτα.

Βάζετε αντικολλητική λαδόκολλα στο ταψί του φούρνου και προθερμαίνετε το φούρνο στους 180°C.
Παίρνετε λίγη ζύμη (κρατάτε την υπόλοιπη σκεπασμένη για να μη στεγνώσει) και την πλάθετε σε μπαστουνάκι. Κόβετε σε 4-5 κομμάτια και ανοίγετε με τον πλάστη. Με οδηγό ένα πιατάκι του γλυκού (διαμέτρου 18εκ. περίπου) κόβετε στρογγυλούς δίσκους από το φύλλο. Ανακατεύετε λίγο το σησάμι και βάζετε μέσα το φύλλο πιέζοντάς το για να κολλήσει στην κάτω μεριά. Βάζετε στο κέντρο τους μια μέτρια μπάλα από τη γέμιση (120γρ.) και διπλώνετε τις πλευρές προς τα μέσα χωρίς να καλύψετε τη γέμιση και φτιάχνετε τρίγωνες ή τετράγωνες φλαούνες. Πιέζετε με πιρούνι τις γωνιές.

Τις τοποθετείτε στο ταψί αφήνοντας 3 εκ. μεταξύ τους και τις αλείφετε (το φύλλο και τη γέμιση) με το χτυπημένο αυγό (αν θέλετε βάζετε μέσα και λίγο σησάμι). Ψήνετε τις φλαούνες στο φούρνο για 45-50 λεπτά ή μέχρι να ροδίσουν καλά.