Προθερμαίνετε το φούρνο στους 180°C. Λιώνετε το βούτυρο σε ένα μεγάλο, βαρύ αντικολλητικό τηγάνι και ψήνετε τα φιλέτα του κοτόπουλου σε μέτρια φωτιά, μέχρι να ροδίσουν και από τις δυο πλευρές για 10 περίπου λεπτά. Τα μεταφέρετε σε ένα ταψάκι και συνεχίζετε το ψήσιμο στο φούρνο για άλλα 8 λεπτά.

Τα βγάζετε από το φούρνο, τα μεταφέρετε σε πιατέλα και τα αφήνετε να κρυώσουν για 5-10 λεπτά. Τα κόβετε κάθετα σε φετάκια και ύστερα το κάθε φετάκι σε πολύ λεπτές λωρίδες. Τις βάζετε σε ένα μπολ, προσθέτετε μέσα το τριμμένο τυρί, αλάτι και πιπέρι και τα ανακατεύετε.

Ανοίγετε οριζόντια την τσαμπάτα και κόβετε κάθε φέτα σε 3 κάθετες και 3 οριζόντιες λωρίδες (θα έχετε 9 κομμάτια από κάθε φέτα ή σύνολο 18).

Τα βάζετε σε ταψί του φούρνου και απλώνετε τα 2/3 της σάλτσας ντομάτας πάνω στην κομμένη πλευρά τους. Ύστερα, μοιράζετε πάνω το μίγμα κοτόπουλου-τυριού και το περιχύνετε με την υπόλοιπη σάλτσα ντομάτας.

Ψήνετε τα σάντουιτς-πίτσες στο φούρνο για 12-15 περίπου λεπτά, μέχρι να λιώσει το τυρί και να ροδίσουν και τα σερβίρετε αμέσως, γαρνίροντάς τα, αν θέλετε με κλωναράκια μαϊντανού.